name: xaringan-title class: left, middle # Econometría I <br> ## Test de Parámetros de MCO <br> <br> <img src="images/lognig.png" width="280" /> ### Carlos A. Yanes | Departamento de Economía | 2024-03-17 --- background-size: 100% background-image: url(https://media.giphy.com/media/3ohzdGLk3o5mkA9ZPW/giphy.gif) ??? Image test. Taken from gyfty. --- class: middle, inverse .left-column[ # 😕 ] .right-column[ # Preguntas de la sesión anterior? ] --- # Preliminar -- La última vez: -- 1. Trabajamos la primera estimación de modelos (MCO). -- 1. Miramos las demostraciones del **M.C.O**. -- 1. Analizamos los parámetros del **Modelo**. -- 1. Hablé rápidamente lo de **Normalidad**. -- 1. Hoy, inferencia y prueba de hipótesis de forma teórica. --- class: title-slide-section-red, middle # Normalidad <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Estadístico JB 🆒 -- > Es un test creado por Jarque-Bera para mirar los picos de una distribución y concluir si esta lo hace de forma normal. En este caso, la inferencia se hace hacia los errores del modelo `\((\epsilon_i)\)` -- Debe ser <span style="color:red"> menor </span> al `\(\chi^{2}\)` _critico_ con el objeto de constatar que: -- `$$\begin{aligned} H_{0}&= \epsilon_i \sim N(0, \sigma^{2})\\ H_{a}&= \epsilon_i \nsim N(0, \sigma^{2}) \end{aligned}$$` -- + En caso de que `\(\epsilon_{i}\)` no se distribuya `normal`, los `\(\beta's\)` dejan de ser **eficientes** o _mínima varianza_, y no puede hacerse en principio inferencia estadística. -- + Los intervalos de confianza no son **validos**. --- # Estadístico JB 🆒 -- ### Mire lo siguiente 🛑 -- <img src="Class04_files/figure-html/ejemplo1-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> -- Si por algún motivo nuestro estadístico **Jarque-Bera** cae en la zona de **rechazo** entonces podemos argumentar que nuestros residuos **NO** se distribuyen de forma normal. --- # Estadístico JB 🆒 -- Simulemos un modelo y extraigamos su residuo -- ```r regresion <- lm(y ~ x, datos) u.hat <- resid(regresion) ``` -- Algo como: -- ``` #> y y.hat u.hat #> 1 -13.0974752 -3.5310510 -9.566424 #> 2 -11.6682696 0.9705791 -12.638849 #> 3 -17.0207068 -4.6934148 -12.327292 #> 4 -5.4526798 8.8149097 -14.267590 #> 5 -4.1929814 1.7811335 -5.974115 #> 6 -10.8124406 -4.6091709 -6.203270 #> 7 -0.9483357 2.6586865 -3.607022 #> 8 9.7244035 4.0528889 5.671515 #> 9 0.1861900 3.1496515 -2.963461 #> 10 13.4321802 -1.7469221 15.179102 ``` --- # Estadístico JB 🆒 -- `$$JB=\left [ \frac{s^2}{6} \times \frac{(k-3)^2}{24} \right ]\sim \chi^2$$` -- Donde `\((s)\)` es el tercer momento (Asimetría) y `\((k)\)` viene siendo la curtosis. La prueba por naturaleza se hace con la tabla `ji-cuadrado` -- ```r library(moments) # Paquete estadístico jarque.test(u.hat) ``` ``` #> #> Jarque-Bera Normality Test #> #> data: u.hat #> JB = 7.2082, p-value = 0.02721 #> alternative hypothesis: greater ``` -- Observe que la probabilidad de caer en la **zona de no rechazo** es tan solo de un 3.5%, -demasiado pequeña-. Necesitamos que `\(JB<\chi_{Critico}\)`. Para el caso, el estadístico nos da `\(JB=7.20>3.84\)` --- # Estadístico JB 🆒 -- Observe que el valor crítico cambia de acuerdo al **nivel de significancia** de la prueba. Empecemos con el mas noble (10%) ```r qchisq(0.10,1, lower.tail = F) ``` ``` #> [1] 2.705543 ``` -- Si somos estrictos, entonces al 95% vamos a tener lo siguiente ```r qchisq(0.05,1, lower.tail = F) ``` ``` #> [1] 3.841459 ``` -- Ahora miremos al nivel de testeo mas alto, esto es 99% ```r qchisq(0.01,1, lower.tail = F) ``` ``` #> [1] 6.634897 ``` --- # Estadístico JB 🆒 -- <img src="Class04_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> -- + Concluimos que no es normal ese comportamiento de los **residuos** + La parte gráfica ayuda, pero no siempre es concluyente. Hay que hacer el .RUred[test estadístico]. --- name: setup class: middle, inverse # Que sigue a continuación... <br> ## Errores o residuos del Modelo --- # De los errores y/o residuos ✅ Como vimos la última vez, nuestro problema que va con la **incertidumbre** es que no sabemos si nuestra estimación muestral está *cerca* o *lejos* del parámetro poblacional desconocido. -- Sin embargo, no "todo está perdido". Podemos utilizar los errores `\(\left(e_i = y_i - \hat{y}_i\right)\)` para tener una idea de lo <span style="color:red"> **bien** </span> que nuestro <span style="color:blue"> **modelo** </span> explica la variación observada en `\(y\)`. -- Cuando nuestro **modelo** parece estar haciendo un "buen" trabajo, podemos tener un poco más de confianza en su uso para aprender acerca de la relación entre `\(y\)` y `\(x\)`. -- Ahora sólo tenemos que **formalizar** lo que significa realmente un "buen trabajo". --- # De los errores y/o residuos ✅ -- En primer lugar, estimaremos la varianza de `\(u_i\)` (recordemos: `\(\mathop{\text{Var}} \left( u_i \right) = \sigma^2\)`) utilizando nuestros errores al cuadrado (SEC): -- `$$SEC=\sigma^2 = \frac{\sum_i e_i^2}{n - k}$$` -- Donde `\(k\)` da el número de términos de pendiente e interceptos que estimamos ( _p.e_, `\(\beta_0\)` y `\(\beta_1\)` darían `\(k=2\)`). -- `\(\sigma^2\)` es un estimador **insesgado**. -- A continuación, se muestra que la varianza de `\(\hat{\beta}_1\)` (para la regresión lineal simple) es: -- `$$\mathop{\text{Var}} \left( \hat{\beta}_1 \right) = \dfrac{\sigma^2}{\sum_i \left( x_i - \overline{x} \right)^2}$$` -- Que muestra que la <span style="color:red"> **varianza** </span> de nuestro estimador de la pendiente: -- + Aumenta a medida que nuestras perturbaciones se vuelven más ruidosas -- + Disminuye a medida que la varianza de `\(x\)` aumenta --- name: setup class: middle, inverse # Lo que sigue a continuación... <br> ## es intentarlo hacer mas interesante --- # De los errores y/o residuos
```r tidy(lm(Salario ~ Experiencia)) ``` ``` #> # A tibble: 2 × 5 #> term estimate std.error statistic p.value #> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> #> 1 (Intercept) 956. 37.4 25.5 1.53e-109 #> 2 Experiencia 0.202 3.03 0.0669 9.47e- 1 ``` --
Utilizamos el error estándar de `\(\hat{\beta}_1\)`, junto con `\(\hat{\beta}_1\)` mismo, para aprender sobre el parámetro `\(\beta_1\)`. -- Después de derivar la distribución de `\(\hat{\beta}_1\)`, tenemos dos opciones (relacionadas) para hacer inferencia estadística formal y entonces (aprender) sobre nuestro parámetro desconocido `\(\beta_1\)`: -- - **Intervalos de confianza:** Utiliza la estimación y su error estándar para crear un intervalo que, al repetirse, generalmente contiene el verdadero parámetro. -- - **Pruebas de hipótesis:** Determinan si hay evidencia estadística lo suficiente significativa para rechazar un valor o rango de valores de la hipótesis nula. --- class: title-slide-section-red, middle # Intervalos de confianza <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Intervalos de confianza
-- - Construimos intervalos de confianza a un nivel de `\((1- \alpha)\)` para `\(\beta_1\)`: `$$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2,\;\text{df}} \, \mathop{\hat{\text{SE}}} \left( \hat{\beta}_1 \right)$$` -- - Por ejemplo, con 100 obs., tenemos dos coeficientes, `\((\hat{\beta}_0 \; \text{y} \; \hat{\beta}_1 \implies k = 2), \; \text{y tenemos un}\; \alpha = 0.025\)` (Para un intervalo de confianza del 98%) nos brinda un .black[estadístico] de `\(t_{0.025,\,98}\)` = -1.98 -- <img src="Class04_files/figure-html/t distr-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Intervalos de confianza
**Del lo anterior** Tenemos certeza que con un 97.6% de confiabilidad nuestros intervalos de confianza contienen el verdadero valor de nuestro `\(\beta_1\)`. <img src="Class04_files/figure-html/simulation ci-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Intervalos de confianza
-- - Construimos intervalos de confianza a un nivel de `\((1- \alpha)\)` para `\(\beta_1\)`: `$$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2,\;\text{df}} \, \mathop{\hat{\text{SE}}} \left( \hat{\beta}_1 \right)$$` -- **Ejemplo:** ```r lm(Salario ~ Experiencia) %>% tidy() ``` ``` #> # A tibble: 2 × 5 #> term estimate std.error statistic p.value #> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> #> 1 (Intercept) 956. 37.4 25.5 1.53e-109 *#> 2 Experiencia 0.202 3.03 0.0669 9.47e- 1 ``` -- + Nuestro intervalo de confianza del 98% es en nuestro caso `\(0.202 \pm 1.98 \times 3.03 = \left[ -5.7364,\; 6.1412 \right]\)` -- .RUred[Recuerde que el valor crítico puede obtenerlo de:] -- ```r qt(0.975,100) ``` ``` #> [1] 1.983972 ``` --- # Intervalos de confianza
-- - Construimos intervalos de confianza a un nivel de `\((1- \alpha)\)` para `\(\beta_1\)`: `$$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2,\;\text{df}} \, \mathop{\hat{\text{SE}}} \left( \hat{\beta}_1 \right)$$` -- Directamente en .black[R]: ```r modelo.1<- lm(Salario~Experiencia) confint(modelo.1) ``` ``` #> 2.5 % 97.5 % #> (Intercept) 882.185279 1029.024598 *#> Experiencia -5.736443 6.141249 ``` --
_si esta interesado(a)_ en mirar los otros niveles de confianza es usar el código con la opción **level** _p.e_: `confint(modelo.1, level=0.99)` --- # Intervalos de confianza
--
Qué significa el intervalo: -- <font size="+5">$$\left[ -5.7364 \leq \hat{\beta}_{i} \leq 6.1412 \right]$$</font> --
**Informalmente:** El intervalo de confianza nos da una región (intervalo) en la que podemos depositar cierta confianza para contener el parámetro estimado. --
**Más formalmente:** Si con nuestras muestras de la población repetimos el proceso n veces y construimos intervalos de confianza para cada una de estas, `\((1-\alpha)\)` por ciento de nuestros intervalos ( _p.e_, 97.5%) contendrán el parámetro poblacional *en algún lugar del intervalo*. --- # Hipótesis
-- > **Pruebas de hipótesis**: En muchas aplicaciones, queremos saber algo más que una estimación puntual o un rango de valores. Queremos saber qué dicen nuestras pruebas estadísticas sobre las **teorías** existentes. -- - Queremos comprobar las hipótesis planteadas por funcionarios, políticos, economistas, científicos, amigos, vecinos raros, etc. -- *Ejemplos*: --
¿El aumento de la presencia policial **reduce la delincuencia**? --
¿Construir un muro gigante **reduce la delincuencia**? --
¿Influye el cierre de un gobierno **en la economía**? --
¿Se reduce con la **legalización del uso** de cannabis el numero de casos de conducir (manejar un vehículo) bajo los efectos del alcohol o con consumo de las opioides? --
¿Las normas de calidad del aire **aumentan la salud** y/o **reducen el empleo**? --- # Hipótesis
-- Las pruebas de hipótesis se basan en resultados e intuiciones muy similares. -- Aunque no cabe duda de que existe **incertidumbre**, podemos elaborar pruebas estadísticas fiables (rechazar o no rechazar una hipótesis planteada). -- En **MCO** las pruebas de hipotesis se hacen a los parámetros: `\(\beta_1\)` es igual al valor `\((c)\)`, _p.e._, planteamos que `\(H_o:\: \beta_1 = c\)` -- Luego esta el _test_ para hacerlo: `$$t_\text{estadístico} = \dfrac{\hat{\beta}_1 - c}{\mathop{\hat{\text{SE}}} \left( \hat{\beta}_1 \right)}$$` -- > Note que c regularmente se iguala a cero (0) y la hipotesis nula pasa a ser `\(H_o:\: \beta_1 = 0\)`. --- # Hipótesis
--
Para un nivel `\(\alpha\)` y un test de **dos colas**, vamos a rechazar la _hipotesis nula_ cuando ocurra lo siguiente: -- `$$\left|t_\text{estadístico}\right| > \left|t_{1-\alpha/2,\;df}\right|$$` -- Lo que significa que nuestro **estadístico de prueba es más extremo que el valor crítico**. -- De otra forma, podemos calcular el **valor p** que acompaña a nuestro estadístico de prueba, que nos da efectivamente la probabilidad de ver nuestro estadístico de prueba *o un estadístico de prueba más extremo* si la hipótesis nula fuera cierta. -- Los **valores p** muy pequeños (generalmente < 0,05) _significan_ que sería poco probable ver nuestros resultados si la hipótesis nula fuera realmente cierta; tendemos a rechazar la hipótesis nula para valores p inferiores a 0,05. -- En **R**: -- ```r library(broom) # Para tener el p-value modelo.1<- lm(Salario~Experiencia) glance(modelo.1)$p.value ``` ``` #> value #> 0.9466878 ``` --- # Hipótesis
```r lm(Salario~Experiencia) %>% tidy() ``` ``` #> # A tibble: 2 × 5 #> term estimate std.error statistic p.value #> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> #> 1 (Intercept) 956. 37.4 25.5 1.53e-109 *#> 2 Experiencia 0.202 3.03 0.0669 9.47e- 1 ``` -- H.sub[o]: `\(\beta_1 = 0\)` *vs.* H.sub[a]: `\(\beta_1 \neq 0\)` -- `\(t_\text{estadístico} = 0.0669\)` y el `\(t_\text{0.95, 28} = 1.65\)` -- El cual implica que *p*-value `\(> 0.05\)` -- Entonces, no podemos .black[rechazar Ho]. --- # Hipótesis
.left-column[ Cómo se lee el siguiente modelo desde la probabilidad? ] -- .right-column[ <div class="tabwid"><style>.cl-d11e6758{}.cl-d11aca76{font-family:'Helvetica';font-size:11pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-d11aca80{font-family:'Helvetica';font-size:11pt;font-weight:normal;font-style:italic;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-d11c416c{margin:0;text-align:left;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-d11c4176{margin:0;text-align:right;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 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1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4bf8{width:1.287in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4bf9{width:0.752in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c02{width:0.4in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c03{width:1.384in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c04{width:0.88in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c0c{width:1.287in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 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0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c17{width:0.88in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c18{width:1.287in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c19{width:0.752in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c20{width:0.4in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c21{width:1.384in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c22{width:0.88in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c2a{width:1.287in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c2b{width:0.752in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-d11c4c34{width:0.4in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-d11e6758'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th colspan="6"class="cl-d11c4bbc"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">Modelo de Prueba</span></p></th></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-d11c4bbc"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76"></span></p></th><th class="cl-d11c4bc6"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">Estimate</span></p></th><th class="cl-d11c4bd0"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">Standard Error</span></p></th><th class="cl-d11c4bd1"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">t value</span></p></th><th class="cl-d11c4bd1"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">Pr(>|t|)</span></p></th><th class="cl-d11c4bd2"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76"></span></p></th></tr></thead><tbody><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-d11c4bda"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">(Intercept)</span></p></td><td class="cl-d11c4bdb"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">861.482</span></p></td><td class="cl-d11c4bdc"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">78.171</span></p></td><td class="cl-d11c4be4"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">11.020</span></p></td><td class="cl-d11c4be4"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">0.0000</span></p></td><td class="cl-d11c4be5"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">***</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-d11c4bee"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">Experiencia</span></p></td><td class="cl-d11c4bef"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">18.837</span></p></td><td class="cl-d11c4bf8"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">13.924</span></p></td><td class="cl-d11c4bf9"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">1.353</span></p></td><td class="cl-d11c4bf9"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">0.1764</span></p></td><td class="cl-d11c4c02"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76"> </span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-d11c4c03"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">I(Experiencia^2)</span></p></td><td class="cl-d11c4c04"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">-0.794</span></p></td><td class="cl-d11c4c0c"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">0.579</span></p></td><td class="cl-d11c4c0d"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">-1.371</span></p></td><td class="cl-d11c4c0d"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca76">0.1707</span></p></td><td class="cl-d11c4c0e"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76"> </span></p></td></tr></tbody><tfoot><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-d11c4c16"><p class="cl-d11c4176"><span class="cl-d11aca80">Signif. codes: 0 <= '***' < 0.001 < '**' < 0.01 < '*' < 0.05</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-d11c4c21"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76"></span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-d11c4c21"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">Residual standard error: 404.4 on 932 degrees of freedom</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-d11c4c21"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">Multiple R-squared: 0.002018, Adjusted R-squared: -0.0001238</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-d11c4c21"><p class="cl-d11c416c"><span class="cl-d11aca76">F-statistic: 0.9422 on 932 and 2 DF, p-value: 0.3901</span></p></td></tr></tfoot></table></div> ] --- # Hipótesis
--
El p-value o .black[p-valor] nos dice que probabilildad tenemos de caer en la zona de **no rechazo** (la zona mas grande de toda la distribución). -- > Cientificamente, esto implica la probabilidad que tenemos de cometer el error tipo I en las pruebas de hipótesis. _Esto es, usted .grey[rechaza] Ho cuando ella es verdadera_ -- La formula de cálculo es: -- `$$\text{p-value}= \color{#0000FF}{2 \times P(T_{n-1}> |t|)} \equiv 2 \times (1-Ft_{n-1}(|t|))$$` -- _Donde `\(|t|\)` es el **valor crítico** y `\(Ft\)` es la función de densidad_ -- en **R**: -- ```r n<- 935 # Por el tamaño muestral del ejemplo de salarios/educación t<- 0.0669 # Valor de T-calculado (p<-2*(1-pt(abs(t), n-1))) ``` ``` #> [1] 0.9466756 ``` --- # Hipótesis
-- En nuestro ejemplo con los salarios, hay un 94% (por ciento) que nuestro `\(t\)` estadístico esté en la zona de **no rechazo** y por ende la .black[experiencia] _no explique las variaciones del salario_ -- La distribución de nuestro `\(t\)` estadístico es: (teniendo presente las zonas de rechazo). -- <img src="Class04_files/figure-html/simulacion t plot-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: title-slide-section-red, middle # Otras Métricas: R-Cuadrado <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Otras Métricas
-- - **Suma Total de Cuadrados** (SST): Mide variación muestral total de `\(y_{i}\)`. `$$SST \equiv \sum \limits_{i=1}^{n} \left ( y_{i} - \bar{y} \right )^{2}$$` -- - **Suma Explicada de Cuadrados** (SSE): Mide variación de `\(\hat{y}_{i}\)`. `$$SSE \equiv \sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \hat{y}_{i} - \bar{y} \right )^{2}$$` -- - **Suma de los Residuos al Cuadrado** (SSR): Mide variación en `\(\mu_{i}\)`. `$$SSR \equiv \sum \limits_{i=1}^{n} \hat{\mu}_{i}^{2}$$` -- La **variación total** en `\(y\)` puede ser expresada como la suma de la variación explicada y la no explicada: `$$SST= SSE+SSR$$` --- # Otras Métricas
-- - **Coeficiente de determinación** `\(R^2\)`: Mide el grado de precisión del modelo, la proporción de la variación de la variable _dependiente_ que es explicado por `\(x\)`. `$$R^{2} \equiv \frac{SSE}{SST}=1-\frac{SSR}{SST} \quad R^{2} \in \left [ 0,1 \right ]$$` --
Cuando se interpreta se multiplica por 100 para interpretarlo como porcentaje. --
Un `\(R^{2}\)` **cercano a cero** indica un ajuste bajo a la linea de M.C.O. --
Un `\(R^{2}\)` **cercano a uno**, `\(x\)` explica la mayoría de `\(y\)`. --- # Otras Métricas
- En **R** se puede implementar así: -- ```r modelo.1 <- lm(Salario ~ Experiencia) sal.pred <- fitted(modelo.1) #Predichos u.hat <- resid(modelo.1) # R cuadrado puede obtenerse: Sal <- datos$wage var(sal.pred)/var(Sal) #Primera forma ``` ``` #> [1] 4.794796e-06 ``` ```r 1 - var(u.hat)/ var(Sal) #Segunda forma ``` ``` #> [1] 4.794796e-06 ``` ```r cor(Sal, sal.pred)^2 # Tercera forma ``` ``` #> [1] 4.794796e-06 ``` --- # Bibliografía
Álvarez, R. A. R., Calvo, J. A. P., Torrado, C. A. M., & Mondragón, J. A. U. (2013). *Fundamentos de econometría intermedia: teoría y aplicaciones*. Universidad de los Andes.
Stock, J. H., Watson, M. W., & Larrión, R. S. (2012). *Introducción a la Econometría*.
Wooldridge, J. M. (2015). *Introductory econometrics: A modern approach*. Cengage learning. --- class: title-slide-final, middle # Gracias por su atención! ## Alguna pregunta adicional? ### Carlos Andres Yanes Guerra
cayanes@uninorte.edu.co
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