Modelo de Bertrand

Caso Bertrand de Empresa

• Usamos una función de demanda de mercado:

• El costo marginal es idéntico para ambas firmas, y se asume que es de $6:

• A partir de esto, podemos hacernos varias preguntas:

  ¿Cuál es el equilibrio de Nash?
  ¿Qué precio debe elegir cada firma?

Equilibrio del Mercado

• Cada firma produce hasta el punto en que su precio es igual al costo marginal:

• Usando la función de demanda:

• Si , entonces:

• La cantidad total en el mercado es .

• El beneficio para cada firma es:

Nociones

• En equilibrio, las firmas producen eficientemente, pero no obtienen beneficios económicos.

• Esto refleja una competencia perfecta en un modelo de Duopolio pero con precios iguales al costo marginal.

Forma Normal para Bertrand

Donde , cualquier precio menor que el que cobre la competencia genera múltiples beneficios.

Juegos Mixtos

• Observe el siguiente juego matching pennies

• Este tipo de juegos no tiene equilibrio de Nash ni de ningún equilibrio aprendido hasta el momento.

¿ Entonces que hacemos ?

Respuesta

Para el caso planteado, querrá jugar CARA si piensa que también lo hace.

• Sin embargo, jugará CARA si cree que juega SELLO. Así, debe hacer creer a que jugará SELLO.

• Como no existe coordinación y no será fácil engañar al otro jugador racional, quizás lo mejor que puede hacer cada jugador es hacerlo de forma aleatoria.

Estrategías Mixtas

• De hecho, aunque existan Equilibrios de Nash en estrategias puras, quizás los jugadores puedan tener estrategias que jugarán con cierta probabilidad.

• Este tipo de estrategias las denominaremos estrategias mixtas: es decir, un jugador puede jugar un perfil de estrategias con cierta probabilidad.

• El concepto de Equilibrio de Nash se extiende a mixtas de tal forma que sea un perfil de estrategias , donde para cada jugador . es un EN en estrategias mixtas si y solo si:

• La estrategía es la mejor respuesta para cualquier estrategia y jugador .

Valor Esperado

El valor esperado es un concepto fundamental en la teoría de probabilidad y la estadística. Se refiere a la media ponderada de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, donde cada resultado se pondera por su probabilidad de ocurrir.

• Matemáticamente, el valor esperado de una variable aleatoria discreta se define como:

Donde: son los posibles valores de la variable aleatoria , es la probabilidad de que el valor ocurra, La suma se realiza sobre todos los posibles valores de .

Valor Esperado

• El valor esperado tiene diversas interpretaciones según el contexto. En economía, por ejemplo, se interpreta como la cantidad promedio de un valor que se espera obtener en un experimento repetido bajo condiciones de incertidumbre.

Estructura del Juego Mixto

P y Q vienen a ser las creencias de lo que posiblemente va jugar el otro jugador.

Qué hace el Jugador 1?

• Este jugador hace lo siguiente:

  • Enfrentar estrategía CARA vs SELLO:

  • Cuando halla esto encuentra que:

Función de reacción Firma 1

De aquí hay que tener en cuenta lo mejor que haga el otro jugador. (La interpretación es clave acá).

El jugador 1 siempre jugará CARA si sabe que el otro jugador tiene alta probabilidad de jugar CARA.

Referencias